حل معادلات غیر خطی در Matlab به روش نصف کردن

روش های زیادی برای حل معادلات غیر خطی در متلب وجود دارد که در زیر به شرح آنها می پردازیم:

1-روش هایی که همگرایی آنها تضمین شده است(محدوده معین)

1-1-Bisection یا روش نصف کردن محدوده

2-1-False Position یا روش درون يابی خطی

2-روش هایی که تضمین همگرایی ندارند(روش باز-معمولا سریع تر هستند)

1-2-Fixed-Point Iteration روش تکرار

2-2-Secant Methods روش وتری

3-2-Newton-Raphson روش نيوتن رافسون

در این مطلب روش نصف کردن محدوده یا همان Bisection را تشریح می کنیم و انشالله در مطالب آینده روش های دیگر به ترتیب بیان خواهند شد.

روش نصف کردن (Bisection Method):

در این روش برای بدست آوردن ریشه معادله بازه ی معینی موجود می باشد و الگوریتم به شکل زیر می باشد:

1)ابتدا بازه ای که مطمئن هستیم ریشه در آن است را تعیین می کنیم.مثلا [a b] که برای تعیین اینکه ریشه در این بازه است باید:

f(a)*f(b)<0

2)در صورت درستی رابطه بالا مطمئن هستیم حداقل یک ریشه در بازه وجود دارد.

x=(a+b)/2

3)حال درستی رابطه زیر را بررسی می کنیم:

f(a)*f(x)<0

4)اگر درست بود یعنی ریشه بین a و x می باشد و مقدار x در b قرار می گیرد و به مرحله 2 برمیگردیم، در غیر این صورت مقدار x در a قرار می گیرد و به مرحله 2 باز میگردیم و تکرار را تا زمان رسیدن به دقت خواسته شده ادامه می دهیم.

حل معادلات غیر خطی به روش نصف کردن

function روش bisection:

function [r er his] = bis(f,a,b,tel,maxit)
% f=function is defined in M-file
% r=root
% a/b = initial left/right point of the solution interval
% tel=upperbound of error
% his=history of r
% er=(b - a)/2(half the last interval width),error
% maxint= maximum of iterations
fa=feval(f,a);fb=feval(f,b);
if(fa*fb>0)
    error('We must have f(a)f(b)<0!')
end

for k=1:maxit
    his(k)=(a+b)/2;
    fr=feval(f,his(k));
    er=(b-a)/2;
    if(abs(fr)<eps || abs(er)<tel);break;
    elseif(fr*fa>0) fa=fr;a=his(k);
        else b=his(k);
    end
    
end
r=his(k);

end

function تابع غیر خطی:

function y = f(x)
y=x.^2-1;
end

کد تایپ شده در پنجره دستور برای محاسبه ریشه تابع f

[root error history]=bis('f',-2,-0.5,0.001,1000)

نتیجه run :

root =

   -1.0002

error =

   7.3242e-04

history =

  Columns 1 through 6

   -1.2500   -0.8750   -1.0625   -0.9688   -1.0156   -0.9922

  Columns 7 through 11

   -1.0039   -0.9980   -1.0010   -0.9995   -1.0002