تبدیل لاپلاس (Laplace transform)
تبدیل لاپلاس یکی از روش های مناسب برای حل معادلات دیفرانسیل خطی با شرایط اولیه معلوم می باشد. در این مطلب راجع به ویژگی های این تبدیل صحبت خواهیم کرد.
تبدیل لاپلاس تابع \(f(t)\) که برای \(t>0\) تعریف میگردد را با نماد \(L(f(t))\) یا \(F(s)\) نمایش می دهیم و داریم:
\(F(s)= \int_{0}^∞ f(t)e^{-st}\,dt \qquad s>0\)
تابع \(F(s)\) را تبدیل لاپلاس تابع \(f(t)\) و تابع \(f(t)\) را تبدیل معکوس \(F(s)\) می نامیم و داریم:
\(L^{-1}(F(s))=f(t)\)
تبدیل لاپلاس و معکوس تبدیل لاپلاس اپراتورهای خطی هستند، یعنی هر گاه a و b دو عدد ثابت باشند، داریم:
\(L(af(t)+bg(t))=aL(f(t))+bL(g(t))\\ L^{-1}(aF(s)+bG(s))=aL^{-1}(F(s))+bL^{-1}(G(s))\)
تبدیل لاپلاس بعضی توابع مهم را در زیر ملاحظه می کنید. توجه به این نکته بسیار اهمیت دارد که حفظ کردن روابط زیر به گونه ای که با داشتن \(F(s)\) در هر حالت بتوان سریعا \(f(t)\) را مشخص نمود و برعکس، لازم و ضروری است.
دقت کنید شرط نوشته شده برای s در هر قسمت شرط همگرا شدن انتگرال مربوط به تعریف تبدیل لاپلاس تابع مورد نظر است و به تعبیری شرط وجود تبدیل لاپلاس خواهد بود.
تبدیل لاپلاس توابع مهم
در ادامه می توانید جزوه تبدیل لاپلاس را در 98 صفحه، از مرجع تخصصی مهندسی شیمی دانلود کنید.
